与えられた分数式 $\frac{3x-4}{x(x^2+2)}$ を部分分数分解し、$\frac{a}{x} + \frac{bx+c}{x^2+2}$ の形になるように定数 $a, b, c$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

与えられた分数式 $\frac{3x-4}{x(x^2+2)}$ を部分分数分解し、$\frac{a}{x} + \frac{bx+c}{x^2+2}$ の形になるように定数 $a, b, c$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を等式で表します。

$\frac{3x-4}{x(x^2+2)} = \frac{a}{x} + \frac{bx+c}{x^2+2}$

次に、両辺に $x(x^2+2)$ を掛けます。

$3x-4 = a(x^2+2) + (bx+c)x$

$3x-4 = ax^2+2a + bx^2+cx$

$3x-4 = (a+b)x^2 + cx + 2a$

この等式が $x$ について恒等式であるためには、両辺の各次数の係数が等しくなければなりません。したがって、以下の連立方程式が得られます。

$a+b=0$

$c=3$

$2a=-4$

この連立方程式を解きます。

まず、$2a=-4$ より $a=-2$

次に、$a+b=0$ より $-2+b=0$ なので $b=2$

最後に、$c=3$

したがって、$a=-2, b=2, c=3$

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = 2$

$c = 3$