$x$ が $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ を満たす実数のとき、無限等比級数 $1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots$ の和を求める。

1. 問題の内容

$x$ が $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ を満たす実数のとき、無限等比級数 $1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots$ の和を求める。

2. 解き方の手順

与えられた無限級数は、$1, 2x, 4x^2, 8x^3, \dots$ という項が続く等比級数です。

この級数の初項 $a$ は $1$ であり、公比 $r$ は $\frac{2x}{1} = 2x$ です。

無限等比級数が収束するための条件は、公比の絶対値が1より小さいこと、すなわち $|r| < 1$ です。

問題では、$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ という条件が与えられています。この条件より、

$|2x| = 2|x| < 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ となり、 $|r| = |2x| < 1$ が成り立ちます。

したがって、与えられた無限等比級数は収束します。

無限等比級数の和 $S$ は、初項 $a$ と公比 $r$ を用いて、

$S = \frac{a}{1 - r}$

と表されます。

この問題の場合、$a = 1$、$r = 2x$ なので、

$S = \frac{1}{1 - 2x}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{1-2x}$