与えられた複素数について、2種類の極形式で表現する問題です。対象となる複素数は以下の4つです。 (1) $-3 + 3\sqrt{3}i$ (2) $-i$ (3) $-5$ (4) $\frac{2+2i}{2-2i}$

1. 問題の内容

与えられた複素数について、2種類の極形式で表現する問題です。対象となる複素数は以下の4つです。

(1) $-3 + 3\sqrt{3}i$

(2) $-i$

(3) $-5$

(4) $\frac{2+2i}{2-2i}$

2. 解き方の手順

複素数 $z = a + bi$ の極形式は $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ または $z = re^{i\theta}$ と表されます。ここで、$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ は絶対値、$\theta$ は偏角です。偏角は $\tan\theta = \frac{b}{a}$ から求められますが、象限に注意して適切な角度を選ぶ必要があります。

(1) $z = -3 + 3\sqrt{3}i$ の場合:

$r = \sqrt{(-3)^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6$

$\tan\theta = \frac{3\sqrt{3}}{-3} = -\sqrt{3}$

偏角 $\theta$ は第2象限にあるので、$\theta = \frac{2\pi}{3}$

したがって、極形式は $z = 6\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$ または $z = 6e^{i\frac{2\pi}{3}}$

(2) $z = -i$ の場合:

$r = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1} = 1$

$\tan\theta = \frac{-1}{0}$, これは負のy軸上にあるので、$\theta = \frac{3\pi}{2}$ または $\theta = -\frac{\pi}{2}$

したがって、極形式は $z = 1\left(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}\right)$ または $z = e^{i\frac{3\pi}{2}}$

(3) $z = -5$ の場合:

$r = \sqrt{(-5)^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$

$\tan\theta = \frac{0}{-5} = 0$, これは負のx軸上にあるので、$\theta = \pi$

したがって、極形式は $z = 5(\cos\pi + i\sin\pi)$ または $z = 5e^{i\pi}$

(4) $z = \frac{2+2i}{2-2i}$ の場合:

まず、複素数を簡単にするために分母の共役複素数を掛けます。

$z = \frac{2+2i}{2-2i} \cdot \frac{2+2i}{2+2i} = \frac{(2+2i)^2}{2^2 - (2i)^2} = \frac{4 + 8i - 4}{4 + 4} = \frac{8i}{8} = i$

$r = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$

$\tan\theta = \frac{1}{0}$, これは正のy軸上にあるので、$\theta = \frac{\pi}{2}$

したがって、極形式は $z = 1\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)$ または $z = e^{i\frac{\pi}{2}}$

3. 最終的な答え

(1) $6(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3})$, $6e^{i\frac{2\pi}{3}}$

(2) $\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}$, $e^{i\frac{3\pi}{2}}$

(3) $5(\cos\pi + i\sin\pi)$, $5e^{i\pi}$

(4) $\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}$, $e^{i\frac{\pi}{2}}$