$\sum_{k=1}^n (2^k + 2k)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^n (2^k + 2k)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sum$ の性質を利用して、与えられた式を2つの和に分解します。

$\sum_{k=1}^n (2^k + 2k) = \sum_{k=1}^n 2^k + \sum_{k=1}^n 2k$

次に、それぞれの和を計算します。

$\sum_{k=1}^n 2^k$ は初項が2、公比が2の等比数列の和なので、公式を用いて計算します。

$\sum_{k=1}^n 2^k = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2$

$\sum_{k=1}^n 2k$ は2 $\times$ $\sum_{k=1}^n k$ と書き換えられます。$\sum_{k=1}^n k$ は1からnまでの自然数の和なので、公式を用いて計算します。

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、

$\sum_{k=1}^n 2k = 2 \times \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$

以上より、

$\sum_{k=1}^n (2^k + 2k) = (2^{n+1} - 2) + n(n+1) = 2^{n+1} + n(n+1) - 2$

3. 最終的な答え

$2^{n+1} + n(n+1) - 2$