次の数列の和を $\Sigma$ を用いずに、各項を書き並べて表す問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^k$ (2) $\sum_{k=2}^{5} (k^3 - 8)$

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

次の数列の和を $\Sigma$ を用いずに、各項を書き並べて表す問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^k$

(2) $\sum_{k=2}^{5} (k^3 - 8)$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^k$ の場合

$\Sigma$ の定義に従って、$k$ に $1$ から $n$ までの整数を代入し、それらを足し合わせます。

$k=1$ のとき: $2 \cdot 3^1 = 6$

$k=2$ のとき: $2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$

$k=3$ のとき: $2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$

...

$k=n$ のとき: $2 \cdot 3^n$

したがって、$\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^k = 6 + 18 + 54 + \cdots + 2 \cdot 3^n$ となります。

(2) $\sum_{k=2}^{5} (k^3 - 8)$ の場合

$\Sigma$ の定義に従って、$k$ に $2$ から $5$ までの整数を代入し、それらを足し合わせます。

$k=2$ のとき: $2^3 - 8 = 8 - 8 = 0$

$k=3$ のとき: $3^3 - 8 = 27 - 8 = 19$

$k=4$ のとき: $4^3 - 8 = 64 - 8 = 56$

$k=5$ のとき: $5^3 - 8 = 125 - 8 = 117$

したがって、$\sum_{k=2}^{5} (k^3 - 8) = 0 + 19 + 56 + 117$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^k = 6 + 18 + 54 + \cdots + 2 \cdot 3^n$

(2) $\sum_{k=2}^{5} (k^3 - 8) = 0 + 19 + 56 + 117$