関数 $f(x) = \frac{3x+2}{x+a}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x) = f(x)$ が成り立つような定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{3x+2}{x+a}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x) = f(x)$ が成り立つような定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(f(x))$ を計算します。

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f(f(x)) = f\left(\frac{3x+2}{x+a}\right) = \frac{3\left(\frac{3x+2}{x+a}\right)+2}{\frac{3x+2}{x+a}+a}

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この式を整理します。分子と分母に $(x+a)$ を掛けると、

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f(f(x)) = \frac{3(3x+2) + 2(x+a)}{3x+2 + a(x+a)} = \frac{9x+6+2x+2a}{3x+2+ax+a^2} = \frac{11x+6+2a}{(3+a)x+2+a^2}

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$(f \circ f)(x) = f(x)$ より、

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\frac{11x+6+2a}{(3+a)x+2+a^2} = \frac{3x+2}{x+a}

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この式が恒等的に成り立つためには、

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\frac{11}{3+a} = \frac{6+2a}{2+a^2} = \frac{3}{1} = \frac{2}{a}

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$\frac{3}{1} = \frac{2}{a}$ より、 $3a=2$ となり、$a=\frac{2}{3}$ が得られます。

$a=\frac{2}{3}$ を $\frac{11}{3+a}=\frac{3}{1}$ に代入すると、

$\frac{11}{3+\frac{2}{3}} = \frac{11}{\frac{11}{3}} = 3$となり、これは成立します。

$a=\frac{2}{3}$ を $\frac{6+2a}{2+a^2} = \frac{3}{1}$ に代入すると、

$\frac{6+2\cdot\frac{2}{3}}{2+(\frac{2}{3})^2} = \frac{6+\frac{4}{3}}{2+\frac{4}{9}} = \frac{\frac{22}{3}}{\frac{22}{9}} = \frac{22}{3} \cdot \frac{9}{22} = 3$となり、これも成立します。

別の考え方として、

$\frac{11x+6+2a}{(3+a)x+2+a^2} = \frac{3x+2}{x+a}$ から、

$(11x+6+2a)(x+a) = (3x+2)((3+a)x+2+a^2)$ が恒等式となるので、

$11x^2 + (11a+6+2a)x + (6a+2a^2) = 3(3+a)x^2 + (3(2+a^2)+2(3+a))x + 2(2+a^2)$

$11x^2 + (13a+6)x + (6a+2a^2) = (9+3a)x^2 + (6+3a^2+6+2a)x + 4+2a^2$

係数を比較すると、

$11 = 9+3a$ より、$3a = 2$ となり、$a=\frac{2}{3}$ が得られます。

$13a+6 = 12+3a^2+2a$ より、$13(\frac{2}{3}) + 6 = 12 + 3(\frac{4}{9}) + 2(\frac{2}{3}) = 12 + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 12 + \frac{8}{3} = \frac{44}{3}$

$\frac{26}{3} + \frac{18}{3} = \frac{44}{3}$ で、成立します。

$6a+2a^2 = 4+2a^2$ より、$6a=4$となり、$a=\frac{2}{3}$ が得られます。

3. 最終的な答え

$a = \frac{2}{3}$