直線 $y = \frac{1}{4}x + 1$ と直線 $y = ax - 2$ が点Aで交わっており、点Aのx座標は-4である。点Bは直線 $y = \frac{1}{4}x + 1$ 上の点、点Cは直線 $y = ax - 2$ 上の点で、点Bと点Cのx座標は等しい。 (1) $a$ の値を求めよ。 (2) 点Bのy座標が3であるとき、三角形OACの面積を求めよ。 (3) 点B, Cからy軸に垂線をひき、y軸との交点をそれぞれD, Eとする。点Bのx座標を $t$ とするとき、 　① 線分BCの長さを $t$ を用いて表せ。 　② 四角形BDECが正方形であるとき、$t$ の値を求めよ。

はい、この数学の問題を解きましょう。

1. 問題の内容

直線 $y = \frac{1}{4}x + 1$ と直線 $y = ax - 2$ が点Aで交わっており、点Aのx座標は-4である。点Bは直線 $y = \frac{1}{4}x + 1$ 上の点、点Cは直線 $y = ax - 2$ 上の点で、点Bと点Cのx座標は等しい。

(1) $a$ の値を求めよ。

(2) 点Bのy座標が3であるとき、三角形OACの面積を求めよ。

(3) 点B, Cからy軸に垂線をひき、y軸との交点をそれぞれD, Eとする。点Bのx座標を $t$ とするとき、

　① 線分BCの長さを $t$ を用いて表せ。

　② 四角形BDECが正方形であるとき、$t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点Aは2つの直線の交点であり、x座標が-4なので、 $y = \frac{1}{4} \times (-4) + 1 = -1 + 1 = 0$。よって点Aの座標は(-4, 0)。

点Aは直線 $y = ax - 2$ 上にあるので、 $0 = a \times (-4) - 2$。これを解くと、 $4a = -2$ より $a = -\frac{1}{2}$。

(2)

点Bのy座標が3であるとき、$3 = \frac{1}{4}x + 1$。これを解くと、 $\frac{1}{4}x = 2$ より $x = 8$。したがって点Bの座標は(8, 3)。

点Cのx座標は点Bのx座標と等しいので、点Cのx座標は8。点Cは直線 $y = -\frac{1}{2}x - 2$ 上にあるので、$y = -\frac{1}{2} \times 8 - 2 = -4 - 2 = -6$。したがって点Cの座標は(8, -6)。

三角形OACの面積は、底辺OAの長さが4、高さが点Cのy座標の絶対値6であるから、 $\frac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12$。

(3)

① 点Bのx座標が $t$ なので、点Bのy座標は $\frac{1}{4}t + 1$。

点Cのx座標も $t$ であり、点Cは直線 $y = -\frac{1}{2}x - 2$ 上にあるので、点Cのy座標は $-\frac{1}{2}t - 2$。

線分BCの長さは、点Bと点Cのy座標の差の絶対値であるから、

$BC = |(\frac{1}{4}t + 1) - (-\frac{1}{2}t - 2)| = |\frac{1}{4}t + 1 + \frac{1}{2}t + 2| = |\frac{3}{4}t + 3| = \frac{3}{4}t + 3$ ($t > 0$ より)。

② 四角形BDECが正方形であるとき、BD = BC。

BDは点Bのx座標であるから $t$ 。

したがって、 $t = \frac{3}{4}t + 3$。

$\frac{1}{4}t = 3$ より、 $t = 12$。

3. 最終的な答え

(1) $a = -\frac{1}{2}$

(2) 三角形OACの面積は 12

(3)

　① 線分BCの長さは $\frac{3}{4}t + 3$

　② $t = 12$