与えられた2次関数について、最大値または最小値を求める問題です。具体的には、次の3つの関数について考えます。 (1) $y = x^2 - 4x - 4$ (2) $y = -x^2 + 2x - 3$ (5) $y = -\frac{1}{2}x^2 + x$

1. 問題の内容

与えられた2次関数について、最大値または最小値を求める問題です。具体的には、次の3つの関数について考えます。

(1) $y = x^2 - 4x - 4$

(2) $y = -x^2 + 2x - 3$

(5) $y = -\frac{1}{2}x^2 + x$

2. 解き方の手順

2次関数の最大値または最小値を求めるには、平方完成を行います。平方完成された形から、頂点の座標を読み取り、それが最大値を与えるか最小値を与えるかを判断します。

(1) $y = x^2 - 4x - 4$

$y = (x^2 - 4x) - 4$

$y = (x^2 - 4x + 4) - 4 - 4$

$y = (x - 2)^2 - 8$

頂点の座標は$(2, -8)$です。$x^2$の係数が正なので、下に凸のグラフとなり、最小値を持ちます。最小値は$-8$です。最大値はありません。

(2) $y = -x^2 + 2x - 3$

$y = -(x^2 - 2x) - 3$

$y = -(x^2 - 2x + 1) - 3 + 1$

$y = -(x - 1)^2 - 2$

頂点の座標は$(1, -2)$です。$x^2$の係数が負なので、上に凸のグラフとなり、最大値を持ちます。最大値は$-2$です。最小値はありません。

(5) $y = -\frac{1}{2}x^2 + x$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x)$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1) + \frac{1}{2}$

$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{2}$

頂点の座標は$(1, \frac{1}{2})$です。$x^2$の係数が負なので、上に凸のグラフとなり、最大値を持ちます。最大値は$\frac{1}{2}$です。最小値はありません。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $-8$, 最大値: なし

(2) 最大値: $-2$, 最小値: なし

(5) 最大値: $\frac{1}{2}$, 最小値: なし