2次方程式 $4x^2 + 20x - k = 0$ が重解を持つように定数 $k$ の値を定め、そのときの重解を求める。

はい、承知いたしました。問題4(1)を解きます。

1. 問題の内容

2次方程式 $4x^2 + 20x - k = 0$ が重解を持つように定数 $k$ の値を定め、そのときの重解を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つための条件は、判別式 $D$ が 0 であることです。2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

今回の問題では、$a = 4$, $b = 20$, $c = -k$ ですから、

$D = 20^2 - 4(4)(-k) = 400 + 16k$

重解を持つためには、$D = 0$ でなければならないので、

$400 + 16k = 0$

$16k = -400$

$k = -25$

次に、$k = -25$ をもとの方程式に代入して、重解を求めます。

$4x^2 + 20x - (-25) = 0$

$4x^2 + 20x + 25 = 0$

$(2x + 5)^2 = 0$

$2x + 5 = 0$

$2x = -5$

$x = -\frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

$k = -25$ のとき、重解は $x = -\frac{5}{2}$ です。