与えられた9つの二次方程式を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた9つの二次方程式を解く問題です。

2. 解き方の手順

与えられた二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ に対して、解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いて解を求めます。

場合によっては因数分解を利用します。

(1) $x^2 - 5x - 6 = 0$

因数分解すると $(x - 6)(x + 1) = 0$

したがって、$x = 6, -1$

(2) $8x^2 - 14x + 3 = 0$

解の公式を用いると

$x = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 3}}{2 \cdot 8} = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 96}}{16} = \frac{14 \pm \sqrt{100}}{16} = \frac{14 \pm 10}{16}$

したがって、$x = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}, \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

(3) $x^2 - 2x - 1 = 0$

解の公式を用いると

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

(4) $x^2 + 3x + 1 = 0$

解の公式を用いると

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

(5) $9x^2 + 6x - 1 = 0$

解の公式を用いると

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-1)}}{2 \cdot 9} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 36}}{18} = \frac{-6 \pm \sqrt{72}}{18} = \frac{-6 \pm 6\sqrt{2}}{18} = \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{3}$

(6) $25x^2 - 20x + 4 = 0$

$(5x - 2)^2 = 0$

$5x - 2 = 0$

$x = \frac{2}{5}$

(7) $x^2 - 4x + 13 = 0$

解の公式を用いると

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i$

(8) $4x^2 + 20x + 41 = 0$

解の公式を用いると

$x = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4 \cdot 4 \cdot 41}}{2 \cdot 4} = \frac{-20 \pm \sqrt{400 - 656}}{8} = \frac{-20 \pm \sqrt{-256}}{8} = \frac{-20 \pm 16i}{8} = \frac{-5 \pm 4i}{2} = -\frac{5}{2} \pm 2i$

(9) $9x^2 - 12x + 11 = 0$

解の公式を用いると

$x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 11}}{2 \cdot 9} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 396}}{18} = \frac{12 \pm \sqrt{-252}}{18} = \frac{12 \pm \sqrt{36 \cdot (-7)}}{18} = \frac{12 \pm 6i\sqrt{7}}{18} = \frac{2 \pm i\sqrt{7}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 6, -1$

(2) $x = \frac{3}{2}, \frac{1}{4}$

(3) $x = 1 \pm \sqrt{2}$

(4) $x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

(5) $x = \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{3}$

(6) $x = \frac{2}{5}$

(7) $x = 2 \pm 3i$

(8) $x = -\frac{5}{2} \pm 2i$

(9) $x = \frac{2 \pm i\sqrt{7}}{3}$