$a \geq 1$ のとき、$a^2 \geq 1$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

1. 問題の内容

$a \geq 1$ のとき、$a^2 \geq 1$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

2. 解き方の手順

まず、$a \geq 1$ であることから、$a - 1 \geq 0$ であることがわかります。

次に、$a^2 - 1$ を因数分解します。

$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$

$a \geq 1$ であるから、$a + 1 \geq 2 > 0$ です。

$a - 1 \geq 0$ と $a + 1 > 0$ より、 $(a - 1)(a + 1) \geq 0$ となります。

よって、$a^2 - 1 \geq 0$ となり、$a^2 \geq 1$ が証明されました。

等号が成り立つのは、$a^2 = 1$ のときです。

$a^2 = 1$ のとき、$a = \pm 1$ ですが、$a \geq 1$ という条件より、$a = 1$ のときのみ等号が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a \geq 1$ のとき、$a^2 \geq 1$ が成り立つ。等号が成り立つのは $a = 1$ のとき。