与えられた連立一次方程式を拡大係数行列で表し、ガウスの消去法を用いて解きます。解が存在しない場合は「解なし」と答えます。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を拡大係数行列で表し、ガウスの消去法を用いて解きます。解が存在しない場合は「解なし」と答えます。

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で解きます。

1. 連立一次方程式を拡大係数行列で表現する。

2. ガウスの消去法（行基本変形）を用いて行列を簡約化する。

3. 簡約化された行列から解を求める。

(1)

与えられた連立一次方程式は次の通りです。

$x+y+z=6$

$x+y+2z=11$

$2x+3y-4z=3$

拡大係数行列は次のようになります。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & 1 & 2 & 11 \\ 2 & 3 & -4 & 3 \end{bmatrix}$

第2行から第1行を引きます ($R_2 \rightarrow R_2 - R_1$):

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & -4 & 3 \end{bmatrix}$

第3行から第1行の2倍を引きます ($R_3 \rightarrow R_3 - 2R_1$):

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & -6 & -9 \end{bmatrix}$

第2行と第3行を入れ替えます ($R_2 \leftrightarrow R_3$):

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -6 & -9 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{bmatrix}$

第1行から第2行を引きます ($R_1 \rightarrow R_1 - R_2$):

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 7 & 15 \\ 0 & 1 & -6 & -9 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{bmatrix}$

第1行から第3行の7倍を引きます ($R_1 \rightarrow R_1 - 7R_3$):

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -20 \\ 0 & 1 & -6 & -9 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{bmatrix}$

第2行に第3行の6倍を加えます ($R_2 \rightarrow R_2 + 6R_3$):

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -20 \\ 0 & 1 & 0 & 21 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{bmatrix}$

したがって、$x=-20$, $y=21$, $z=5$ です。

(2)

与えられた連立一次方程式は次の通りです。

$x+y+z=6$

$x+y+2z=11$

$2x+2y-4z=3$

拡大係数行列は次のようになります。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & 1 & 2 & 11 \\ 2 & 2 & -4 & 3 \end{bmatrix}$

第2行から第1行を引きます ($R_2 \rightarrow R_2 - R_1$):

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \\ 2 & 2 & -4 & 3 \end{bmatrix}$

第3行から第1行の2倍を引きます ($R_3 \rightarrow R_3 - 2R_1$):

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & -6 & -9 \end{bmatrix}$

第3行に第2行の6倍を加えます ($R_3 \rightarrow R_3 + 6R_2$):

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 21 \end{bmatrix}$

最後の行は $0 = 21$ を意味するため、解は存在しません。

(3)

与えられた連立一次方程式は次の通りです。

$2x-2y+3z=7$

$3x+2y-4z=-5$

$4x-3y+2z=4$

拡大係数行列は次のようになります。

$\begin{bmatrix} 2 & -2 & 3 & 7 \\ 3 & 2 & -4 & -5 \\ 4 & -3 & 2 & 4 \end{bmatrix}$

第1行を1/2倍します ($R_1 \rightarrow \frac{1}{2} R_1$):

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 3 & 2 & -4 & -5 \\ 4 & -3 & 2 & 4 \end{bmatrix}$

第2行から第1行の3倍を引きます ($R_2 \rightarrow R_2 - 3R_1$):

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & 5 & -\frac{17}{2} & -\frac{31}{2} \\ 4 & -3 & 2 & 4 \end{bmatrix}$

第3行から第1行の4倍を引きます ($R_3 \rightarrow R_3 - 4R_1$):

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & 5 & -\frac{17}{2} & -\frac{31}{2} \\ 0 & 1 & -4 & -10 \end{bmatrix}$

第2行を1/5倍します ($R_2 \rightarrow \frac{1}{5} R_2$):

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & 1 & -\frac{17}{10} & -\frac{31}{10} \\ 0 & 1 & -4 & -10 \end{bmatrix}$

第3行から第2行を引きます ($R_3 \rightarrow R_3 - R_2$):

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & 1 & -\frac{17}{10} & -\frac{31}{10} \\ 0 & 0 & -\frac{23}{10} & -\frac{69}{10} \end{bmatrix}$

第3行を-10/23倍します ($R_3 \rightarrow -\frac{10}{23} R_3$):

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & 1 & -\frac{17}{10} & -\frac{31}{10} \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

第1行に第2行を加えます ($R_1 \rightarrow R_1 + R_2$):

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ 0 & 1 & -\frac{17}{10} & -\frac{31}{10} \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

第1行に第3行の1/5倍を加えます ($R_1 \rightarrow R_1 + \frac{1}{5} R_3$):

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -\frac{17}{10} & -\frac{31}{10} \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

第2行に第3行の17/10倍を加えます ($R_2 \rightarrow R_2 + \frac{17}{10} R_3$):

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

したがって、$x=1$, $y=2$, $z=3$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x = -20$, $y = 21$, $z = 5$

(2) 解なし

(3) $x = 1$, $y = 2$, $z = 3$