画像に写っている3つの命題について述べます。 (1) 行列 $A$ が正則ならば、$A^{-1}$ も正則であり、$(A^{-1})^{-1} = A$ が成り立つ。 (2) 行列 $A$ が正則ならば、転置行列 $^tA$ も正則であり、$(^tA)^{-1} = ^t(A^{-1})$ が成り立つ（よってこの行列を $^tA^{-1}$ と書いてよい）。 (3) 行列 $A$ と $B$ が正則ならば、積 $AB$ も正則であり、$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ が成り立つ。

1. 問題の内容

画像に写っている3つの命題について述べます。

(1) 行列 $A$ が正則ならば、$A^{-1}$ も正則であり、$(A^{-1})^{-1} = A$ が成り立つ。

(2) 行列 $A$ が正則ならば、転置行列 $^tA$ も正則であり、$(^tA)^{-1} = ^t(A^{-1})$ が成り立つ（よってこの行列を $^tA^{-1}$ と書いてよい）。

(3) 行列 $A$ と $B$ が正則ならば、積 $AB$ も正則であり、$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ が成り立つ。

2. 解き方の手順

これらの命題は、線形代数における基本的な定理です。それぞれ以下のように証明できます。

(1) $A$ が正則であるとは、ある行列 $A^{-1}$ が存在して、$AA^{-1} = A^{-1}A = I$（$I$ は単位行列）が成り立つことです。

このとき、$A^{-1}$ が正則であるかどうかを考えます。

$(A^{-1})^{-1} = A$ が成り立つならば、$A^{-1}$ は正則であり、$A$ が $A^{-1}$ の逆行列となります。

$A^{-1}A = AA^{-1} = I$ が成り立つので、$A^{-1}$ は正則であり、その逆行列は $A$ であることがわかります。

(2) $A$ が正則であるとき、$AA^{-1} = A^{-1}A = I$ が成り立ちます。

この式全体を転置すると、$(AA^{-1})^t = (A^{-1}A)^t = I^t = I$ となります。

転置の性質より、$(AA^{-1})^t = (A^{-1})^t A^t$ および $(A^{-1}A)^t = A^t(A^{-1})^t$ となります。

したがって、$A^t (A^{-1})^t = (A^{-1})^t A^t = I$ となり、$A^t$ は正則で、その逆行列は $(A^{-1})^t$ であることがわかります。つまり、$(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t$ が成り立ちます。

(3) $A$ と $B$ が正則であるとき、$AA^{-1} = A^{-1}A = I$ および $BB^{-1} = B^{-1}B = I$ が成り立ちます。

$(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = AA^{-1} = I$

$(B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}IB = B^{-1}B = I$

したがって、$AB$ は正則であり、その逆行列は $B^{-1}A^{-1}$ であることがわかります。つまり、$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $A$ が正則ならば、$A^{-1}$ も正則であり、$(A^{-1})^{-1} = A$ が成り立つ。

(2) $A$ が正則ならば、転置行列 $^tA$ も正則であり、$(^tA)^{-1} = ^t(A^{-1})$ が成り立つ。

(3) $A$ と $B$ が正則ならば、積 $AB$ も正則であり、$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ が成り立つ。