与えられた2つの行列の階数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2つの行列の階数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)の行列

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 & 5 \end{pmatrix}$

まず、行を入れ替えます。1行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

次に、3行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

これにより、2つの線形独立な行が得られます。よって、階数は2です。

(2)の行列

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 7 & 6 \\ 3 & -1 & 8 & 5 \end{pmatrix}$

まず、3行目から1行目の2倍を引き、4行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 3 & 8 \\ 0 & -1 & 2 & 8 \end{pmatrix}$

次に、3行目から2行目を引き、4行目に2行目を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 5 & 12 \end{pmatrix}$

最後に、3行目と4行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 5 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

これにより、4つの線形独立な行が得られます。よって、階数は4です。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 4