反比例のグラフ $y = \frac{6}{x}$ 上の2点 A, B の $x$ 座標がそれぞれ -6, 2 であるとき、2点 A, B を通る直線の式を求めよ。

## 問題25

1. 問題の内容

反比例のグラフ $y = \frac{6}{x}$ 上の2点 A, B の $x$ 座標がそれぞれ -6, 2 であるとき、2点 A, B を通る直線の式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点Aと点Bの座標を求めます。

点Aの座標は $x=-6$ を $y = \frac{6}{x}$ に代入して、

$y = \frac{6}{-6} = -1$ なので、A(-6, -1)です。

点Bの座標は $x=2$ を $y = \frac{6}{x}$ に代入して、

$y = \frac{6}{2} = 3$ なので、B(2, 3)です。

次に、2点 A(-6, -1) と B(2, 3) を通る直線の式を $y = ax + b$ とおき、$a$と$b$を求めます。

2点の座標を代入すると、

$-1 = -6a + b$

$3 = 2a + b$

この連立方程式を解きます。

下の式から上の式を引くと

$4 = 8a$

$a = \frac{1}{2}$

これを下の式に代入すると、

$3 = 2 * \frac{1}{2} + b$

$3 = 1 + b$

$b = 2$

よって、求める直線の式は $y = \frac{1}{2}x + 2$ です。

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{2}x + 2$

## 問題26

1. 問題の内容

直線 $l$ の式は $y = -x + 9$, 直線 $m$ の式は $y = \frac{1}{2}x - 3$, 直線 $n$ の式は $x = 2$ である。点 $P$ は $l$ と $m$ の交点, 2点 $A, B$ はそれぞれ $l$ と $n$, $m$ と $n$ の交点である。

(1) 線分 $AB$ の長さを求めよ。

(2) 点 $P$ の座標を求めよ。

(3) 点 $P$ を通り三角形 $PAB$ の面積を2等分する直線の式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点Aの座標は、直線 $l$ の式 $y = -x + 9$ に $x = 2$ を代入すると $y = -2 + 9 = 7$ なので、A(2, 7)です。

点Bの座標は、直線 $m$ の式 $y = \frac{1}{2}x - 3$ に $x = 2$ を代入すると $y = \frac{1}{2} * 2 - 3 = 1 - 3 = -2$ なので、B(2, -2)です。

よって、線分 $AB$ の長さは $7 - (-2) = 9$ です。

(2)

点Pは直線 $l$ と $m$ の交点なので、$y = -x + 9$ と $y = \frac{1}{2}x - 3$ を連立させて解きます。

$-x + 9 = \frac{1}{2}x - 3$

$12 = \frac{3}{2}x$

$x = 8$

$y = -8 + 9 = 1$

よって、点Pの座標は (8, 1)です。

(3)

三角形 $PAB$ の面積を2等分する直線は、線分 $AB$ の中点を通ります。

線分 $AB$ の中点を $M$ とすると、Mの座標は $(\frac{2+2}{2}, \frac{7+(-2)}{2}) = (2, \frac{5}{2})$ です。

点 $P(8, 1)$ と点 $M(2, \frac{5}{2})$ を通る直線の式を $y = ax + b$ とおきます。

$1 = 8a + b$

$\frac{5}{2} = 2a + b$

上の式から下の式を引くと、

$-\frac{3}{2} = 6a$

$a = -\frac{1}{4}$

これを下の式に代入すると、

$\frac{5}{2} = 2 * (-\frac{1}{4}) + b$

$\frac{5}{2} = -\frac{1}{2} + b$

$b = 3$

よって、求める直線の式は $y = -\frac{1}{4}x + 3$ です。

3. 最終的な答え

(1) 9

(2) (8, 1)

(3) $y = -\frac{1}{4}x + 3$