$x = \sqrt{6} + 1$、 $y = \sqrt{6} - 1$ のとき、以下の式の値を求める。 (1) $x^2 + 5x + 6$ (2) $x^2 - 2xy + y^2$ (3) $x^2 - y^2$

1. 問題の内容

$x = \sqrt{6} + 1$、 $y = \sqrt{6} - 1$ のとき、以下の式の値を求める。

(1) $x^2 + 5x + 6$

(2) $x^2 - 2xy + y^2$

(3) $x^2 - y^2$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 5x + 6$

$x = \sqrt{6} + 1$ を代入する。

\begin{align*}

x^2 + 5x + 6 &= (\sqrt{6} + 1)^2 + 5(\sqrt{6} + 1) + 6 \\

&= (6 + 2\sqrt{6} + 1) + (5\sqrt{6} + 5) + 6 \\

&= 7 + 2\sqrt{6} + 5\sqrt{6} + 11 \\

&= 18 + 7\sqrt{6}

\end{align*}

(2) $x^2 - 2xy + y^2$

これは $(x - y)^2$ と因数分解できる。

$x - y = (\sqrt{6} + 1) - (\sqrt{6} - 1) = \sqrt{6} + 1 - \sqrt{6} + 1 = 2$

したがって、

$(x - y)^2 = 2^2 = 4$

(3) $x^2 - y^2$

これは $(x + y)(x - y)$ と因数分解できる。

$x + y = (\sqrt{6} + 1) + (\sqrt{6} - 1) = 2\sqrt{6}$

$x - y = (\sqrt{6} + 1) - (\sqrt{6} - 1) = 2$

したがって、

$(x + y)(x - y) = (2\sqrt{6})(2) = 4\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $18 + 7\sqrt{6}$

(2) $4$

(3) $4\sqrt{6}$