点 $\begin{bmatrix} 0 \\ -2 \end{bmatrix}$ を点 $\begin{bmatrix} 4 \\ 0 \end{bmatrix}$ に移し、かつ点 $\begin{bmatrix} -4 \\ 5 \end{bmatrix}$ を点 $\begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}$ に移すような行列 $A$ が存在するかどうかを判定し、存在するならば具体的に求め、存在しないならばその理由を述べる。

1. 問題の内容

点 $\begin{bmatrix} 0 \\ -2 \end{bmatrix}$ を点 $\begin{bmatrix} 4 \\ 0 \end{bmatrix}$ に移し、かつ点 $\begin{bmatrix} -4 \\ 5 \end{bmatrix}$ を点 $\begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}$ に移すような行列 $A$ が存在するかどうかを判定し、存在するならば具体的に求め、存在しないならばその理由を述べる。

2. 解き方の手順

行列 $A$ を $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ とおく。

与えられた条件から、以下の式が成り立つ。

$A \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \end{bmatrix}$

$A \begin{bmatrix} -4 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}$

これらの式を行列の成分で書き下すと、以下の連立方程式が得られる。

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2b \\ -2d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4a+5b \\ -4c+5d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}$

したがって、

$-2b = 4$

$-2d = 0$

$-4a + 5b = 0$

$-4c + 5d = 3$

この連立方程式を解くと、

$b = -2$

$d = 0$

$-4a + 5(-2) = 0$ より $-4a = 10$, よって $a = -\frac{5}{2}$

$-4c + 5(0) = 3$ より $-4c = 3$, よって $c = -\frac{3}{4}$

したがって、$A = \begin{bmatrix} -\frac{5}{2} & -2 \\ -\frac{3}{4} & 0 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

行列 $A$ は一意的に存在し、$A = \begin{bmatrix} -\frac{5}{2} & -2 \\ -\frac{3}{4} & 0 \end{bmatrix}$ である。