2x2行列 A, B について、$\det(AB) = (\det A)(\det B)$ であることを示す問題です。ヒントとして、左辺と右辺をそれぞれ計算することが指示されています。ただし、行列A、Bは $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ $B = \begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix}$ とします。

1. 問題の内容

2x2行列 A, B について、$\det(AB) = (\det A)(\det B)$ であることを示す問題です。ヒントとして、左辺と右辺をそれぞれ計算することが指示されています。ただし、行列A、Bは

$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$

$B = \begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix}$

とします。

2. 解き方の手順

まず、行列 A と B の積 AB を計算します。

$AB = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax+bz & ay+bw \\ cx+dz & cy+dw \end{bmatrix}$

次に、AB の行列式 $\det(AB)$ を計算します。

$\det(AB) = (ax+bz)(cy+dw) - (ay+bw)(cx+dz)$

$\det(AB) = axcy + axdw + bzcy + bzdw - aycx - aydz - bwcx - bw dz$

$\det(AB) = axcy - aycx + axdw - aydz + bzcy - bwcx + bzdw - bw dz$

$\det(AB) = axdw - aydz + bzcy - bwcx$

$\det(AB) = adxw - adyz + bczy - bcxw$

$\det(AB) = adxw - bczw + bczy - adyz$

次に、行列 A, B の行列式 $\det(A), \det(B)$ をそれぞれ計算します。

$\det(A) = ad - bc$

$\det(B) = xw - yz$

そして、$\det(A) \det(B)$ を計算します。

$\det(A)\det(B) = (ad - bc)(xw - yz)$

$\det(A)\det(B) = adxw - adyz - bcxw + bczy$

$\det(AB)$ と $\det(A)\det(B)$ を比較すると、同じ結果が得られます。

$\det(AB) = adxw - adyz - bcxw + bczy$

$\det(A)\det(B) = adxw - adyz - bcxw + bczy$

3. 最終的な答え

$\det(AB) = (ax+bz)(cy+dw) - (ay+bw)(cx+dz) = adxw - adyz - bcxw + bczy$

$\det(A) \det(B) = (ad - bc)(xw - yz) = adxw - adyz - bcxw + bczy$

したがって、$\det(AB) = (\det A)(\det B)$ であることが示されました。