$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 3k + 2)$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 3k + 2)$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

シグマの性質を利用して、それぞれの項に分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 3k + 2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 - 3\sum_{k=1}^{n} k + 2\sum_{k=1}^{n} 1$

それぞれのシグマの公式を適用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2}n(n+1)$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を代入します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 3k + 2) = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) - 3 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) + 2n$

式を整理します。

$\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) - \frac{3}{2}n(n+1) + 2n = \frac{1}{6}n[(n+1)(2n+1) - 9(n+1) + 12]$

$= \frac{1}{6}n[2n^2 + 3n + 1 - 9n - 9 + 12] = \frac{1}{6}n[2n^2 - 6n + 4]$

$= \frac{1}{6}n \cdot 2(n^2 - 3n + 2) = \frac{1}{3}n(n^2 - 3n + 2)$

$= \frac{1}{3}n(n-1)(n-2)$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}n(n-1)(n-2)$