与えられた絶対値を含む方程式と不等式を解く問題です。具体的には、以下の3つの問題を解きます。 (1) $|x+1| = 3x$ (2) $|x-3| \le -2x$ (3) $|2x-1| < 3x+2$

1. 問題の内容

与えられた絶対値を含む方程式と不等式を解く問題です。具体的には、以下の3つの問題を解きます。

(1) $|x+1| = 3x$

(2) $|x-3| \le -2x$

(3) $|2x-1| < 3x+2$

2. 解き方の手順

(1) $|x+1| = 3x$

絶対値の定義より、

$x+1 \ge 0$ のとき、$x \ge -1$ であり、$|x+1| = x+1$ となる。

したがって、$x+1 = 3x$ を解くと、$2x = 1$ より $x = \frac{1}{2}$。

これは$x \ge -1$を満たすので、解の候補となる。

$x+1 < 0$ のとき、$x < -1$ であり、$|x+1| = -(x+1)$ となる。

したがって、$-(x+1) = 3x$ を解くと、$-x-1 = 3x$ より $4x = -1$ なので、$x = -\frac{1}{4}$。

これは$x < -1$を満たさないので、解ではない。

(2) $|x-3| \le -2x$

絶対値の定義より、

$x-3 \ge 0$ のとき、$x \ge 3$ であり、$|x-3| = x-3$ となる。

したがって、$x-3 \le -2x$ を解くと、$3x \le 3$ より $x \le 1$。

これは$x \ge 3$を満たさないので、解なし。

$x-3 < 0$ のとき、$x < 3$ であり、$|x-3| = -(x-3) = 3-x$ となる。

したがって、$3-x \le -2x$ を解くと、$x \le -3$ より $x \le -3$。

これは$x < 3$を満たすので、$x \le -3$。

(3) $|2x-1| < 3x+2$

絶対値の定義より、

$2x-1 \ge 0$ のとき、$x \ge \frac{1}{2}$ であり、$|2x-1| = 2x-1$ となる。

したがって、$2x-1 < 3x+2$ を解くと、$-x < 3$ より $x > -3$。

これは$x \ge \frac{1}{2}$ を満たすので、$x \ge \frac{1}{2}$。

$2x-1 < 0$ のとき、$x < \frac{1}{2}$ であり、$|2x-1| = -(2x-1) = 1-2x$ となる。

したがって、$1-2x < 3x+2$ を解くと、$-5x < 1$ より $x > -\frac{1}{5}$。

これは$x < \frac{1}{2}$ を満たすので、$-\frac{1}{5} < x < \frac{1}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1}{2}$

(2) $x \le -3$

(3) $x > -\frac{1}{5}$