2次関数 $y = x^2 - 2x + k$ において、$-1 \le x \le 2$ の範囲での最小値が -2 であるとき、$k$ の値を求め、そのときの最大値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2x + k$ において、$-1 \le x \le 2$ の範囲での最小値が -2 であるとき、$k$ の値を求め、そのときの最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x + k = (x - 1)^2 - 1 + k$

したがって、頂点の座標は $(1, -1+k)$ です。

定義域 $-1 \le x \le 2$ において、軸 $x=1$ が含まれるので、最小値は頂点の $y$ 座標になります。

よって、$-1+k = -2$ より、$k = -1$ となります。

次に、最大値を求めます。 $k = -1$ を代入すると、$y = x^2 - 2x - 1 = (x-1)^2 - 2$ となります。

軸 $x=1$ から最も離れた $x$ の値は $x = -1$ なので、$x = -1$ のときに最大値をとります。

$x = -1$ を代入すると、$y = (-1)^2 - 2(-1) - 1 = 1 + 2 - 1 = 2$ となります。

3. 最終的な答え

$k = -1$

最大値は $2$