2次関数 $f(x) = x^2 - 6x - 3a + 18$ について、以下の問題を解く。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点を求める。 (2) $a \le x \le a+2$ における関数 $f(x)$ の最小値 $m(a)$ を、 $a$ の範囲によって場合分けして求める。 (3) $0 \le a \le 8$ の範囲で $a$ の値が変化するときの $m(a)$ の最大値、最小値、及び $m(a) = 4$ となる $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 6x - 3a + 18$ について、以下の問題を解く。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点を求める。

(2) $a \le x \le a+2$ における関数 $f(x)$ の最小値 $m(a)$ を、 $a$ の範囲によって場合分けして求める。

(3) $0 \le a \le 8$ の範囲で $a$ の値が変化するときの $m(a)$ の最大値、最小値、及び $m(a) = 4$ となる $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 6x - 3a + 18 = (x - 3)^2 - 9 - 3a + 18 = (x - 3)^2 - 3a + 9$

よって、頂点は $(3, -3a + 9)$

(2) $a \le x \le a+2$ における $f(x)$ の最小値 $m(a)$ を求める。軸は $x=3$ である。

(i) $a+2 < 3$ つまり $a < 1$ のとき、 $m(a) = f(a+2) = (a+2)^2 - 6(a+2) - 3a + 18 = a^2 + 4a + 4 - 6a - 12 - 3a + 18 = a^2 - 5a + 10$

(ii) $a \le 3 \le a+2$ つまり $1 \le a \le 3$ のとき、 $m(a) = f(3) = -3a + 9$

(iii) $a > 3$ のとき、 $m(a) = f(a) = a^2 - 6a - 3a + 18 = a^2 - 9a + 18$

(3) $0 \le a \le 8$ の範囲で $m(a)$ の最大値、最小値を求める。

$m(a) = \begin{cases} a^2 - 5a + 10 & (0 \le a < 1) \\ -3a + 9 & (1 \le a \le 3) \\ a^2 - 9a + 18 & (3 < a \le 8) \end{cases}$

$m(a)$ は $1 \le a \le 3$ で減少関数なので、 $a=1$ で $m(1) = -3 + 9 = 6$ 、 $a=3$ で $m(3) = -9 + 9 = 0$

$a^2 - 5a + 10 = (a - \frac{5}{2})^2 + 10 - \frac{25}{4} = (a - \frac{5}{2})^2 + \frac{15}{4}$

$a=0$ で $m(0) = 10$ 、 $a=1$ で $m(1) = 1 - 5 + 10 = 6$

$a^2 - 9a + 18 = (a - \frac{9}{2})^2 + 18 - \frac{81}{4} = (a - \frac{9}{2})^2 - \frac{9}{4}$

軸 $a=\frac{9}{2} = 4.5$ で最小値 $-\frac{9}{4} = -2.25$

$a=8$ で $m(8) = 64 - 72 + 18 = 10$

よって、$m(a)$ の最大値は $a=0,8$ のとき $10$ 、最小値は $a = \frac{9}{2}$ のとき $-\frac{9}{4}$

$m(a) = 4$ となる $a$ の値を求める。

(i) $a^2 - 5a + 10 = 4 \Rightarrow a^2 - 5a + 6 = 0 \Rightarrow (a - 2)(a - 3) = 0 \Rightarrow a=2,3$ 。しかし $a<1$ なので不適。

(ii) $-3a + 9 = 4 \Rightarrow -3a = -5 \Rightarrow a = \frac{5}{3}$ 。 $1 \le a \le 3$ を満たす。

(iii) $a^2 - 9a + 18 = 4 \Rightarrow a^2 - 9a + 14 = 0 \Rightarrow (a - 2)(a - 7) = 0 \Rightarrow a=2,7$ 。しかし $a>3$ なので、$a=7$

3. 最終的な答え

(1) 頂点 $(3, -3a+9)$

(2) (i) $a < 1$ のとき、 $m(a) = a^2 - 5a + 10$

(ii) $1 \le a \le 3$ のとき、 $m(a) = -3a + 9$

(iii) $a > 3$ のとき、 $m(a) = a^2 - 9a + 18$

(3) $a=0, 8$ のとき最大値 $10$ 、 $a = \frac{9}{2}$ のとき最小値 $-\frac{9}{4}$ である。

また、$a = \frac{5}{3}, 7$ のとき $m(a) = 4$ となる。