$\left(\frac{1}{5}\right)^n < 0.0001$ を満たす最小の整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とする。

1. 問題の内容

$\left(\frac{1}{5}\right)^n < 0.0001$ を満たす最小の整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とする。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を常用対数をとって変形します。

$\left(\frac{1}{5}\right)^n < 0.0001$

$\left(\frac{1}{5}\right)^n < \frac{1}{10000}$

両辺の常用対数をとると、

$\log_{10} \left(\frac{1}{5}\right)^n < \log_{10} \left(\frac{1}{10000}\right)$

$n \log_{10} \left(\frac{1}{5}\right) < \log_{10} 10^{-4}$

$n \log_{10} 5^{-1} < -4$

$-n \log_{10} 5 < -4$

$n \log_{10} 5 > 4$

$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2$

$\log_{10} 5 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

したがって、

$n (0.6990) > 4$

$n > \frac{4}{0.6990}$

$n > 5.72246...$

これを満たす最小の整数は $6$ です。

3. 最終的な答え

6