$a$を定数とする。2次関数 $y = x^2 + (2a+2)x + 2a^2 + 6a - 4$ について、以下の問いに答える。 (1) 関数①のグラフと$y$軸との共有点Pの$y$座標を$p$とする。$p$の最小値を求める。 (2) 関数①のグラフの頂点Q、関数①のグラフが$x$軸と異なる2点A、Bで交わっているときの$a$の値の範囲とABの長さを求める。さらに、$\triangle ABQ$が正三角形となるときの$a$の値を求める。

1. 問題の内容

$a$を定数とする。2次関数 $y = x^2 + (2a+2)x + 2a^2 + 6a - 4$ について、以下の問いに答える。

(1) 関数①のグラフと$y$軸との共有点Pの$y$座標を$p$とする。$p$の最小値を求める。

(2) 関数①のグラフの頂点Q、関数①のグラフが$x$軸と異なる2点A、Bで交わっているときの$a$の値の範囲とABの長さを求める。さらに、$\triangle ABQ$が正三角形となるときの$a$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y$軸との共有点Pの$y$座標$p$は、$x=0$を代入して、$p = 2a^2 + 6a - 4$ となる。

$p$を平方完成すると、

$p = 2(a^2 + 3a) - 4 = 2(a + \frac{3}{2})^2 - 2(\frac{9}{4}) - 4 = 2(a + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} - \frac{8}{2} = 2(a + \frac{3}{2})^2 - \frac{17}{2}$

よって、$p$は$a = -\frac{3}{2}$ のとき、最小値 $-\frac{17}{2}$ をとる。

(2) 関数①を平方完成すると、

$y = (x + a + 1)^2 - (a+1)^2 + 2a^2 + 6a - 4 = (x + a + 1)^2 - (a^2 + 2a + 1) + 2a^2 + 6a - 4 = (x + a + 1)^2 + a^2 + 4a - 5$

したがって、頂点Qの座標は $(-a-1, a^2 + 4a - 5)$である。

関数①のグラフが$x$軸と異なる2点A、Bで交わる条件は、$a^2 + 4a - 5 < 0$

$(a+5)(a-1) < 0$ より、$-5 < a < 1$

A,Bの$x$座標を$\alpha$, $\beta$とすると、解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -(2a+2)$, $\alpha \beta = 2a^2 + 6a - 4$

$AB = |\alpha - \beta| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} = \sqrt{(2a+2)^2 - 4(2a^2 + 6a - 4)} = \sqrt{4a^2 + 8a + 4 - 8a^2 - 24a + 16} = \sqrt{-4a^2 - 16a + 20} = 2\sqrt{-a^2 - 4a + 5}$

$AB = 2\sqrt{-(a^2 + 4a) + 5} = 2\sqrt{-(a+2)^2 + 4 + 5} = 2\sqrt{-(a+2)^2 + 9}$

$a = -2$ のとき、ABは最大値 $2\sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$ をとる。

$\triangle ABQ$が正三角形となるとき、$MQ = \frac{\sqrt{3}}{2} AB$が成り立つ。また、$MQ = |a^2 + 4a - 5|$である。

$\frac{\sqrt{3}}{2} AB = \frac{\sqrt{3}}{2} 2\sqrt{-a^2 - 4a + 5} = \sqrt{3(-a^2 - 4a + 5)} = \sqrt{-3a^2 - 12a + 15}$

$MQ = |a^2 + 4a - 5|$なので、$MQ^2 = (a^2 + 4a - 5)^2$

$(\frac{\sqrt{3}}{2} AB)^2 = MQ^2$より、$3(-a^2 - 4a + 5) = (a^2 + 4a - 5)^2$

$-3a^2 - 12a + 15 = a^4 + 8a^3 + 6a^2 - 40a + 25$

$a^4 + 8a^3 + 9a^2 - 28a + 10 = 0$

$a^2+4a-5 = \pm \sqrt{-3a^2-12a+15}$

$(a+2)^2 = 10$のとき正三角形となる

$|a^2 + 4a - 5| = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2\sqrt{-a^2 - 4a + 5}$

$|a^2 + 4a - 5| = \sqrt{3}\sqrt{-a^2 - 4a + 5}$

$(a^2+4a-5)^2 = 3(-a^2-4a+5)$

$a^4+8a^3+6a^2-40a+25 = -3a^2-12a+15$

$a^4+8a^3+9a^2-28a+10=0$

$a=-2\pm\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

アイ: -3, ウ: 2, エオカ: -17, キ: 2

ク: -1, ケ: 1, コ: 4, サ: 5

シス: -5, セ: 1, ソ: -1, タ: 4, チ: 5, ツテ: -2, ト: 6

ヌネ: -2, ノ: 6