与えられた3x3行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める。

はい、承知しました。画像にある問題の中から、(1)の行列の逆行列を求める問題について解説します。

1. 問題の内容

与えられた3x3行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める。

2. 解き方の手順

逆行列を求めるには、掃き出し法を用いるのが一般的です。

1. 与えられた行列Aに単位行列を並べた拡大行列 $[A | I]$ を作成します。

$[A | I] = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 &|& 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & -1 &|& 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 &|& 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2. 拡大行列 $[A | I]$ に行基本変形を施し、$A$ を単位行列 $I$ に変形します。

このとき、$I$ の部分が $A^{-1}$ になります。

1. 1行目を1/2倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & -1/2 & 0 &|& 1/2 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & -1 &|& 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 &|& 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2. 2行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1/2 & 0 &|& 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 &|& -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 &|& 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3. 3行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1/2 & 0 &|& 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 &|& -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1/2 & -1 &|& -1/2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

4. 2行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1/2 & 0 &|& 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & -1 &|& -1/2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 &|& -1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

5. 2行目を2倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & -1/2 & 0 &|& 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 &|& -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 &|& -1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

6. 1行目に2行目の1/2倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 &|& 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 &|& -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 &|& -1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

7. 3行目を-1倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 &|& 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 &|& -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 &|& 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

8. 1行目に3行目を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 &|& 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 &|& -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 &|& 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

9. 2行目に3行目の2倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 &|& 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 &|& 1 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 &|& 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

逆行列は、

$A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

となります。