与えられた2次不等式とその解の範囲から、定数 $a, b$ の値を求める問題です。 (1) $x^2 + ax + b > 0$ の解が $x < -1, 2 < x$ である。 (2) $x^2 + ax + b < 0$ の解が $-3 < x < 5$ である。 (3) $ax^2 - 2x + b > 0$ の解が $-2 < x < 1$ である。

1. 問題の内容

与えられた2次不等式とその解の範囲から、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

(1) $x^2 + ax + b > 0$ の解が $x < -1, 2 < x$ である。

(2) $x^2 + ax + b < 0$ の解が $-3 < x < 5$ である。

(3) $ax^2 - 2x + b > 0$ の解が $-2 < x < 1$ である。

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 + ax + b > 0$ の解が $x < -1, 2 < x$ であることから、$x^2 + ax + b = 0$ の解は $x = -1, 2$ である。

解と係数の関係より、

$-1 + 2 = -a$

$(-1)(2) = b$

したがって、

$a = -1$

$b = -2$

(2)

$x^2 + ax + b < 0$ の解が $-3 < x < 5$ であることから、$x^2 + ax + b = 0$ の解は $x = -3, 5$ である。

解と係数の関係より、

$-3 + 5 = -a$

$(-3)(5) = b$

したがって、

$a = -2$

$b = -15$

(3)

$ax^2 - 2x + b > 0$ の解が $-2 < x < 1$ である。

これは、$a < 0$ であり、$ax^2 - 2x + b = 0$ の解が $x = -2, 1$ であることを意味する。

解と係数の関係より、

$-2 + 1 = \frac{2}{a}$

$(-2)(1) = \frac{b}{a}$

したがって、

$-1 = \frac{2}{a} \implies a = -2$

$-2 = \frac{b}{a} \implies b = -2a = -2(-2) = 4$

よって、$a = -2$, $b = 4$

3. 最終的な答え

(1) $a = -1$, $b = -2$

(2) $a = -2$, $b = -15$

(3) $a = -2$, $b = 4$