実数 $k$ を定数とする $x$ の整式 $P(x) = x^3 - (k+1)x^2 + (2k+3)x - (k+3)$ を因数分解する。

1. 問題の内容

実数 $k$ を定数とする $x$ の整式 $P(x) = x^3 - (k+1)x^2 + (2k+3)x - (k+3)$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$P(x)$ に $x=1$ を代入してみると、

$P(1) = 1^3 - (k+1)1^2 + (2k+3)1 - (k+3) = 1 - k - 1 + 2k + 3 - k - 3 = 0$

となる。したがって、$P(x)$ は $(x-1)$ を因数に持つ。

$P(x)$ を $(x-1)$ で割ると、

$P(x) = (x-1)(x^2 - kx + k+3)$

したがって、$P(x) = (x-1)(x^2 - kx + k+3)$ と因数分解できる。

3. 最終的な答え

$P(x) = (x-1)(x^2 - kx + k+3)$