2つの不等式 $x^2 + 2ax + a > 0$ と $x^2 - (b-3)x - 2b + 2 < 0$ があり、$C_1$と$C_2$がともに点(1,0)を通る時、$a$と$b$の値を求め、これらの不等式を同時に満たす$x$の範囲を求める。

1. 問題の内容

2つの不等式 $x^2 + 2ax + a > 0$ と $x^2 - (b-3)x - 2b + 2 < 0$ があり、$C_1$と$C_2$がともに点(1,0)を通る時、$a$と$b$の値を求め、これらの不等式を同時に満たす$x$の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$C_1$と$C_2$が点(1,0)を通ることから、$a$と$b$の値を決定します。点(1,0)を通る条件は以下の通りです。

* $C_1: 1^2 + 2a(1) + a = 0 \implies 1 + 2a + a = 0 \implies 3a = -1 \implies a = -\frac{1}{3}$

* $C_2: 1^2 - (b-3)(1) - 2b + 2 = 0 \implies 1 - b + 3 - 2b + 2 = 0 \implies -3b + 6 = 0 \implies 3b = 6 \implies b = 2$

したがって、$a = -\frac{1}{3}$、$b = 2$ となります。

次に、与えられた不等式に$a$と$b$の値を代入して、不等式を解きます。

* $x^2 + 2ax + a > 0$ に $a = -\frac{1}{3}$ を代入すると、$x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} > 0$ となります。両辺を3倍すると、$3x^2 - 2x - 1 > 0$ となります。因数分解すると、$(3x + 1)(x - 1) > 0$ となります。したがって、$x < -\frac{1}{3}$ または $x > 1$ となります。

* $x^2 - (b-3)x - 2b + 2 < 0$ に $b = 2$ を代入すると、$x^2 - (2-3)x - 2(2) + 2 < 0$ となります。つまり、$x^2 + x - 2 < 0$ となります。因数分解すると、$(x + 2)(x - 1) < 0$ となります。したがって、$-2 < x < 1$ となります。

最後に、2つの不等式の解の共通範囲を求めます。

* $x < -\frac{1}{3}$ または $x > 1$

* $-2 < x < 1$

共通範囲は $-2 < x < -\frac{1}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$a = -\frac{1}{3}$

$b = 2$

$-2 < x < -\frac{1}{3}$