関数 $f(x) = ax + b$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とするとき、$f^{-1}(5) = 4$ と $f^{-1}(-5) = -1$ を満たす定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = ax + b$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とするとき、$f^{-1}(5) = 4$ と $f^{-1}(-5) = -1$ を満たす定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、逆関数の定義から、$f(f^{-1}(x)) = x$ が成り立つことを利用します。

$f^{-1}(5) = 4$ より、$f(4) = 5$ が得られます。同様に、$f^{-1}(-5) = -1$ より、$f(-1) = -5$ が得られます。

これらの情報を $f(x) = ax + b$ に代入すると、以下の連立方程式が得られます。

$4a + b = 5$

$-a + b = -5$

この連立方程式を解きます。

2つの式を引き算すると、

$(4a + b) - (-a + b) = 5 - (-5)$

$5a = 10$

$a = 2$

$a = 2$ を $-a + b = -5$ に代入すると、

$-2 + b = -5$

$b = -3$

したがって、$a = 2$、$b = -3$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -3$