関数 $f(x) = x^2 + 2$ ($x \geq 0$) と $g(x) = \sqrt{x-2}$ ($x \geq 2$) について、合成関数 $(f \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + 2$ ($x \geq 0$) と $g(x) = \sqrt{x-2}$ ($x \geq 2$) について、合成関数 $(f \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$(f \circ f)(x)$ を求める。これは、$f(f(x))$ を計算することを意味する。

$f(x) = x^2 + 2$ なので、$f(f(x)) = (x^2 + 2)^2 + 2$ となる。

これを展開して整理すると、

$$f(f(x)) = (x^4 + 4x^2 + 4) + 2 = x^4 + 4x^2 + 6$$

次に、$(f \circ g)(x)$ を求める。これは、$f(g(x))$ を計算することを意味する。

$f(x) = x^2 + 2$ と $g(x) = \sqrt{x-2}$ なので、$f(g(x)) = (\sqrt{x-2})^2 + 2$ となる。

これを整理すると、

$$f(g(x)) = (x-2) + 2 = x$$

ただし、定義域を考慮する必要がある。$g(x) = \sqrt{x-2}$ が定義されるためには $x \geq 2$ が必要であり、$f(g(x))$ が定義されるためには、$g(x)$ の値が $f$ の定義域に含まれている必要がある。$f$ の定義域は $x \geq 0$ であり、$g(x)$ は常に $0$ 以上なので、$f(g(x))$ の定義域は $x \geq 2$ である。

3. 最終的な答え

$(f \circ f)(x) = x^4 + 4x^2 + 6$

$(f \circ g)(x) = x$ ($x \geq 2$)