$x = \sqrt{6} + 1$、$y = \sqrt{6} - 1$ のとき、以下の2つの式の値を求めます。 (1) $x^2 + 5x + 6$ (2) $x^2 - 2xy$

1. 問題の内容

$x = \sqrt{6} + 1$、$y = \sqrt{6} - 1$ のとき、以下の2つの式の値を求めます。

(1) $x^2 + 5x + 6$

(2) $x^2 - 2xy$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 5x + 6$

$x = \sqrt{6} + 1$ を代入します。

$(\sqrt{6} + 1)^2 + 5(\sqrt{6} + 1) + 6$

$= (6 + 2\sqrt{6} + 1) + (5\sqrt{6} + 5) + 6$

$= 6 + 2\sqrt{6} + 1 + 5\sqrt{6} + 5 + 6$

$= 18 + 7\sqrt{6}$

(2) $x^2 - 2xy$

$x = \sqrt{6} + 1$、$y = \sqrt{6} - 1$ を代入します。

$(\sqrt{6} + 1)^2 - 2(\sqrt{6} + 1)(\sqrt{6} - 1)$

$= (6 + 2\sqrt{6} + 1) - 2(6 - 1)$

$= 7 + 2\sqrt{6} - 2(5)$

$= 7 + 2\sqrt{6} - 10$

$= -3 + 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $18 + 7\sqrt{6}$

(2) $-3 + 2\sqrt{6}$