関数 $f(x) = \frac{3x+2}{x+a}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x) = f(f(x))$ が $f(x)$ に等しくなるような定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{3x+2}{x+a}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x) = f(f(x))$ が $f(x)$ に等しくなるような定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(f(x))$ を計算します。

$$f(f(x)) = f\left(\frac{3x+2}{x+a}\right) = \frac{3\left(\frac{3x+2}{x+a}\right)+2}{\left(\frac{3x+2}{x+a}\right)+a}$$

この式を整理します。

$$f(f(x)) = \frac{3(3x+2)+2(x+a)}{3x+2+a(x+a)} = \frac{9x+6+2x+2a}{3x+2+ax+a^2} = \frac{11x+6+2a}{(3+a)x+2+a^2}$$

条件 $(f \circ f)(x) = f(x)$ より、

$$\frac{11x+6+2a}{(3+a)x+2+a^2} = \frac{3x+2}{x+a}$$

が成り立ちます。両辺の分子と分母を比較して、

$$11x+6+2a = k(3x+2)$$

$$(3+a)x+2+a^2 = k(x+a)$$

となる定数 $k$ が存在する必要があります。

最初の式から、 $11 = 3k$ と $6+2a = 2k$ となるので、$k = \frac{11}{3}$ と $6+2a = 2 \cdot \frac{11}{3} = \frac{22}{3}$ が得られます。

$2a = \frac{22}{3} - 6 = \frac{22-18}{3} = \frac{4}{3}$ より $a = \frac{2}{3}$ となります。

次に、 $a = \frac{2}{3}$ を2番目の式に代入して確かめます。

$(3+a)x+2+a^2 = (3+\frac{2}{3})x+2+(\frac{2}{3})^2 = \frac{11}{3}x + 2 + \frac{4}{9} = \frac{11}{3}x + \frac{22}{9}$

$k(x+a) = \frac{11}{3}(x+\frac{2}{3}) = \frac{11}{3}x + \frac{22}{9}$

となり、確かに一致します。

したがって、$a = \frac{2}{3}$ です。

3. 最終的な答え

$a = \frac{2}{3}$