放物線 $y = 3x^2 + 6x + 5$ を、原点に関して対称移動し、さらに $x$軸方向に $2$, $y$軸方向に $-3$ だけ平行移動したとき、移動後の放物線の方程式と頂点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = 3x^2 + 6x + 5$ を、原点に関して対称移動し、さらに $x$軸方向に $2$, $y$軸方向に $-3$ だけ平行移動したとき、移動後の放物線の方程式と頂点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 原点に関して対称移動する。

$y = 3x^2 + 6x + 5$ を原点に関して対称移動すると、

$-y = 3(-x)^2 + 6(-x) + 5$

$-y = 3x^2 - 6x + 5$

$y = -3x^2 + 6x - 5$

(2) $x$軸方向に $2$, $y$軸方向に $-3$ だけ平行移動する。

$y = -3x^2 + 6x - 5$ を $x$軸方向に $2$, $y$軸方向に $-3$ だけ平行移動すると、

$y + 3 = -3(x - 2)^2 + 6(x - 2) - 5$

$y = -3(x^2 - 4x + 4) + 6x - 12 - 5 - 3$

$y = -3x^2 + 12x - 12 + 6x - 20$

$y = -3x^2 + 18x - 32$

(3) 頂点の座標を求める。

$y = -3x^2 + 18x - 32$ を平方完成すると、

$y = -3(x^2 - 6x) - 32$

$y = -3(x^2 - 6x + 9 - 9) - 32$

$y = -3((x - 3)^2 - 9) - 32$

$y = -3(x - 3)^2 + 27 - 32$

$y = -3(x - 3)^2 - 5$

よって、頂点の座標は $(3, -5)$ である。

3. 最終的な答え

移動後の放物線の方程式は $y = -3x^2 + 18x - 32$ であり、頂点の座標は $(3, -5)$ である。