数列 $1, 1+2, 1+2+2^2, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求める。

1. 問題の内容

数列 $1, 1+2, 1+2+2^2, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求める。

2. 解き方の手順

まず、数列の一般項 $a_k$ を求める。

$a_k = 1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{k-1}$ は初項1, 公比2, 項数kの等比数列の和であるから、

$a_k = \frac{1(2^k - 1)}{2-1} = 2^k - 1$

次に、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (2^k - 1) = \sum_{k=1}^{n} 2^k - \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} 2^k$ は初項2, 公比2, 項数nの等比数列の和であるから、

$\sum_{k=1}^{n} 2^k = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

したがって、

$S_n = (2^{n+1} - 2) - n = 2^{n+1} - n - 2$

3. 最終的な答え

$2^{n+1} - n - 2$