関数 $g(x) = -x + 1$ が与えられています。 条件 $(f \circ f)(x) = x$ かつ $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ を満たす1次関数 $f(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $g(x) = -x + 1$ が与えられています。

条件 $(f \circ f)(x) = x$ かつ $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ を満たす1次関数 $f(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$f(x)$を1次関数と仮定するので、$f(x) = ax + b$ とおきます。

まず、$(f \circ f)(x) = x$ より、

$f(f(x)) = f(ax + b) = a(ax + b) + b = a^2x + ab + b$

これが $x$ に等しいので、

$a^2x + ab + b = x$

係数を比較すると、

$a^2 = 1$

$ab + b = 0$

次に、$(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ より、

$f(g(x)) = f(-x + 1) = a(-x + 1) + b = -ax + a + b$

$g(f(x)) = g(ax + b) = -(ax + b) + 1 = -ax - b + 1$

したがって、$-ax + a + b = -ax - b + 1$

$a + b = -b + 1$

$a + 2b = 1$

$a^2 = 1$ より、$a = 1$ または $a = -1$

(i) $a = 1$ のとき、

$ab + b = b + b = 2b = 0$ より $b = 0$

$a + 2b = 1 + 0 = 1$ となり、条件を満たします。

このとき、$f(x) = x$

(ii) $a = -1$ のとき、

$ab + b = -b + b = 0$ となり、条件を満たします。

$a + 2b = -1 + 2b = 1$ より、$2b = 2$ となり、$b = 1$

このとき、$f(x) = -x + 1$

したがって、求める1次関数は $f(x) = x$ または $f(x) = -x + 1$。

しかし、$f(x) = -x + 1$ のとき、$f(x) = g(x)$ となり、

$f(g(x)) = f(f(x)) = x$

$g(f(x)) = g(g(x)) = -(-x + 1) + 1 = x - 1 + 1 = x$

となるため、$f(g(x)) = g(f(x))$ を満たします。

3. 最終的な答え

$f(x) = x$

$f(x) = -x + 1$