関数 $y = ax + b$ ($a > 0$)の逆関数が $y = ax + 3$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = ax + b$ ($a > 0$)の逆関数が $y = ax + 3$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = ax + b$ の逆関数を求める。

まず、$x$ と $y$ を入れ替える。

$x = ay + b$

次に、$y$ について解く。

$ay = x - b$

$y = \frac{1}{a}x - \frac{b}{a}$

この逆関数が $y = ax + 3$ と一致するので、係数を比較する。

$x$ の係数について、

$\frac{1}{a} = a$

定数項について、

$-\frac{b}{a} = 3$

$\frac{1}{a} = a$ より、$a^2 = 1$ となる。$a > 0$ なので、$a = 1$ である。

$-\frac{b}{a} = 3$ に $a = 1$ を代入すると、$-b = 3$ となるので、$b = -3$ である。

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = -3$