2つの関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x+3}$ と $g(x) = \frac{-3x+4}{x-2}$ が与えられたとき、合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

2つの関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x+3}$ と $g(x) = \frac{-3x+4}{x-2}$ が与えられたとき、合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) $(g \circ f)(x)$ を求める。これは $g(f(x))$ を意味する。つまり、$g(x)$ の $x$ に $f(x)$ を代入する。

$g(f(x)) = \frac{-3f(x) + 4}{f(x) - 2}$

$f(x) = \frac{2x+1}{x+3}$ を代入する。

$g(f(x)) = \frac{-3(\frac{2x+1}{x+3}) + 4}{\frac{2x+1}{x+3} - 2}$

分母と分子に $(x+3)$ を掛ける。

$g(f(x)) = \frac{-3(2x+1) + 4(x+3)}{2x+1 - 2(x+3)}$

$g(f(x)) = \frac{-6x-3 + 4x+12}{2x+1 - 2x-6}$

$g(f(x)) = \frac{-2x+9}{-5}$

$g(f(x)) = \frac{2x-9}{5}$

(2) $(f \circ g)(x)$ を求める。これは $f(g(x))$ を意味する。つまり、$f(x)$ の $x$ に $g(x)$ を代入する。

$f(g(x)) = \frac{2g(x) + 1}{g(x) + 3}$

$g(x) = \frac{-3x+4}{x-2}$ を代入する。

$f(g(x)) = \frac{2(\frac{-3x+4}{x-2}) + 1}{\frac{-3x+4}{x-2} + 3}$

分母と分子に $(x-2)$ を掛ける。

$f(g(x)) = \frac{2(-3x+4) + (x-2)}{-3x+4 + 3(x-2)}$

$f(g(x)) = \frac{-6x+8 + x-2}{-3x+4 + 3x-6}$

$f(g(x)) = \frac{-5x+6}{-2}$

$f(g(x)) = \frac{5x-6}{2}$

3. 最終的な答え

$(g \circ f)(x) = \frac{2x-9}{5}$

$(f \circ g)(x) = \frac{5x-6}{2}$