与えられた5x5行列の行列式を計算します。 $ \begin{vmatrix} 3 & 5 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 6 & 0 & 9 & 3 \\ 3 & 6 & 7 & 1 & 2 \\ 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた5x5行列の行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix}

3 & 5 & 1 & 2 & 1 \\

2 & 6 & 0 & 9 & 3 \\

3 & 6 & 7 & 1 & 2 \\

2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\

1 & 5 & 0 & 0 & 0

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

まず、4行目と5行目に0が多く含まれていることに注目します。これらの行または列を使って行列式を計算することを考えます。5列目を使うと、計算が楽になるかもしれません。

5行目を使って余因子展開を行います。5行目には3つの0があるので、計算する必要があるのは最初の2つの要素だけです。

$$

\begin{vmatrix}

3 & 5 & 1 & 2 & 1 \\

2 & 6 & 0 & 9 & 3 \\

3 & 6 & 7 & 1 & 2 \\

2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\

1 & 5 & 0 & 0 & 0

\end{vmatrix}

= 1 \times (-1)^{5+1} \begin{vmatrix}

5 & 1 & 2 & 1 \\

6 & 0 & 9 & 3 \\

6 & 7 & 1 & 2 \\

7 & 0 & 0 & 0

\end{vmatrix} + 5 \times (-1)^{5+2} \begin{vmatrix}

3 & 1 & 2 & 1 \\

2 & 0 & 9 & 3 \\

3 & 7 & 1 & 2 \\

2 & 0 & 0 & 0

\end{vmatrix}

$$

次に、4x4の行列式を計算します。どちらの行列式も4行目に0が多いので、4行目で余因子展開を行います。

最初の4x4行列式：

$$

\begin{vmatrix}

5 & 1 & 2 & 1 \\

6 & 0 & 9 & 3 \\

6 & 7 & 1 & 2 \\

7 & 0 & 0 & 0

\end{vmatrix}

= 7 \times (-1)^{4+1} \begin{vmatrix}

1 & 2 & 1 \\

0 & 9 & 3 \\

7 & 1 & 2

\end{vmatrix}

= -7 \times (1(18-3) - 2(0-21) + 1(0-63)) = -7 \times (15+42-63) = -7 \times (-6) = 42

$$

2番目の4x4行列式：

$$

\begin{vmatrix}

3 & 1 & 2 & 1 \\

2 & 0 & 9 & 3 \\

3 & 7 & 1 & 2 \\

2 & 0 & 0 & 0

\end{vmatrix}

= 2 \times (-1)^{4+1} \begin{vmatrix}

1 & 2 & 1 \\

0 & 9 & 3 \\

7 & 1 & 2

\end{vmatrix}

= -2 \times (1(18-3) - 2(0-21) + 1(0-63)) = -2 \times (15+42-63) = -2 \times (-6) = 12

$$

したがって、元の行列式は次のようになります。

$$

1 \times 42 + 5 \times (-1) \times 12 = 42 - 60 = -18

$$

3. 最終的な答え

-18