(1) $y = x^2$, $y = 2x^2$, $y = 3x^2$ のグラフを同一の座標平面上に描く。 (2) $y = -2x^2 - 8x + 4$ のグラフを描く。

1. 問題の内容

(1) $y = x^2$, $y = 2x^2$, $y = 3x^2$ のグラフを同一の座標平面上に描く。

(2) $y = -2x^2 - 8x + 4$ のグラフを描く。

2. 解き方の手順

(1)

$y = x^2$, $y = 2x^2$, $y = 3x^2$ は、いずれも原点を頂点とする放物線です。

$y = x^2$ のグラフを基準に考えると、$y = 2x^2$ は $y = x^2$ のグラフを $y$ 軸方向に2倍に拡大したもの、$y = 3x^2$ は $y = x^2$ のグラフを $y$ 軸方向に3倍に拡大したものになります。つまり、$x$ の値が同じとき、$y$ の値がそれぞれ2倍、3倍になるので、$x$ 軸に近い順に $y=x^2$, $y=2x^2$, $y=3x^2$ となります。

(2)

$y = -2x^2 - 8x + 4$ のグラフを描くためには、まず平方完成を行います。

$y = -2(x^2 + 4x) + 4$

$y = -2(x^2 + 4x + 4 - 4) + 4$

$y = -2((x + 2)^2 - 4) + 4$

$y = -2(x + 2)^2 + 8 + 4$

$y = -2(x + 2)^2 + 12$

したがって、与えられた二次関数は、頂点が $(-2, 12)$ であり、上に凸な放物線です。

また、$y$ 切片は、$x=0$ のとき $y = -2(0)^2 - 8(0) + 4 = 4$ なので、$(0, 4)$ を通ります。

グラフを描く際には、頂点、軸、y切片などを考慮します。

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2$, $y = 2x^2$, $y = 3x^2$ のグラフは、いずれも原点を頂点とする放物線であり、x軸に近い順に $y=x^2$, $y=2x^2$, $y=3x^2$。グラフを描画してください。

(2) $y = -2x^2 - 8x + 4 = -2(x + 2)^2 + 12$ のグラフは、頂点が $(-2, 12)$ で上に凸な放物線。y切片は $(0, 4)$。グラフを描画してください。