与えられた数式を計算し、結果を求めます。 数式は以下の通りです。 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7}} + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} - \sqrt{5} - \sqrt{7}}$

1. 問題の内容

与えられた数式を計算し、結果を求めます。

数式は以下の通りです。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7}} + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} - \sqrt{5} - \sqrt{7}}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を有理化します。

1つ目の分数：$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7}}$の分母を有理化するために、分母と分子に$\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7}$を掛けます。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7}} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7})(\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7})}{(\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7})(\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7})}$

$=\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7})^2}{(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{5} + 2\sqrt{2}\sqrt{7} + 2\sqrt{5}\sqrt{7}}{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{5} - 7}$

$= \frac{2 + 5 + 7 + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{14} + 2\sqrt{35}}{2 + 5 + 2\sqrt{10} - 7} = \frac{14 + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{14} + 2\sqrt{35}}{2\sqrt{10}}$

$=\frac{7 + \sqrt{10} + \sqrt{14} + \sqrt{35}}{\sqrt{10}} = \frac{7\sqrt{10} + 10 + \sqrt{140} + \sqrt{350}}{10} = \frac{7\sqrt{10} + 10 + 2\sqrt{35} + 5\sqrt{14}}{10}$

2つ目の分数：$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} - \sqrt{5} - \sqrt{7}}$の分母を有理化するために、分母と分子に$\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7}$を掛けます。

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} - \sqrt{5} - \sqrt{7}} = \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7})(\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7})}{(\sqrt{2} - \sqrt{5} - \sqrt{7})(\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7})} = \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7})^2}{(\sqrt{2} - \sqrt{5})^2 - (\sqrt{7})^2}$

$= \frac{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{5})^2 + (\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{2}(-\sqrt{5}) + 2\sqrt{2}\sqrt{7} + 2(-\sqrt{5})\sqrt{7}}{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{2}\sqrt{5} - 7} = \frac{2 + 5 + 7 - 2\sqrt{10} + 2\sqrt{14} - 2\sqrt{35}}{2 + 5 - 2\sqrt{10} - 7}$

$= \frac{14 - 2\sqrt{10} + 2\sqrt{14} - 2\sqrt{35}}{-2\sqrt{10}} = \frac{7 - \sqrt{10} + \sqrt{14} - \sqrt{35}}{-\sqrt{10}} = \frac{-7\sqrt{10} + 10 - \sqrt{140} + \sqrt{350}}{10}$

$= \frac{-7\sqrt{10} + 10 - 2\sqrt{35} + 5\sqrt{14}}{10}$

与式に代入して計算します。

$\frac{7\sqrt{10} + 10 + 2\sqrt{35} + 5\sqrt{14}}{10} + \frac{-7\sqrt{10} + 10 - 2\sqrt{35} + 5\sqrt{14}}{10} = \frac{7\sqrt{10} + 10 + 2\sqrt{35} + 5\sqrt{14} -7\sqrt{10} + 10 - 2\sqrt{35} + 5\sqrt{14}}{10}$

$= \frac{20 + 10\sqrt{14}}{10} = \frac{20}{10} + \frac{10\sqrt{14}}{10} = 2 + \sqrt{14}$

3. 最終的な答え

$2 + \sqrt{14}$