$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{3}$ のとき、以下の式の値を求める。 (1) $\sin\theta \cos\theta$ (2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$

1. 問題の内容

$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{3}$ のとき、以下の式の値を求める。

(1) $\sin\theta \cos\theta$

(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$

2. 解き方の手順

(1) $\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{3}$ の両辺を2乗する。

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = (\frac{1}{3})^2$

$\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{1}{9}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より

$1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{9}$

$2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{9} - 1$

$2\sin\theta\cos\theta = -\frac{8}{9}$

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{4}{9}$

(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$ を因数分解する。

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(\sin^2\theta - \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)$

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(1 - \sin\theta\cos\theta)$

$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{3}$、$\sin\theta\cos\theta = -\frac{4}{9}$ を代入する。

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\frac{1}{3})(1 - (-\frac{4}{9}))$

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\frac{1}{3})(1 + \frac{4}{9})$

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\frac{1}{3})(\frac{9}{9} + \frac{4}{9})$

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\frac{1}{3})(\frac{13}{9})$

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = \frac{13}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin\theta \cos\theta = -\frac{4}{9}$

(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta = \frac{13}{27}$