不等式 $\sqrt{2x+1} \le \frac{1}{2}x+1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{2x+1} \le \frac{1}{2}x+1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身が0以上である必要があります。

$2x+1 \ge 0$

$2x \ge -1$

$x \ge -\frac{1}{2}$

次に、不等式の両辺を2乗します。

ただし、$\frac{1}{2}x+1$ が負の場合、不等式は常に成立しないため、$\frac{1}{2}x+1 \ge 0$ すなわち $x \ge -2$ が必要です。

これは $x \ge -\frac{1}{2}$ を満たします。

$(\sqrt{2x+1})^2 \le (\frac{1}{2}x+1)^2$

$2x+1 \le \frac{1}{4}x^2 + x + 1$

$0 \le \frac{1}{4}x^2 - x$

$0 \le \frac{1}{4}x(x - 4)$

$0 \le x(x-4)$

したがって、$x \le 0$ または $x \ge 4$ が得られます。

ただし、$x \ge -\frac{1}{2}$ である必要があるので、$x \le 0$ は $-\frac{1}{2} \le x \le 0$ となります。

まとめると、 $-\frac{1}{2} \le x \le 0$ または $x \ge 4$ が解となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} \le x \le 0$ または $x \ge 4$