与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求めます。問題は4つあります。 (1) $3x + 1 = a(x - 1)(x + 1) + bx(x + 1) + cx(x - 1)$ (2) $2x^2 - 3x + 5 = a(x - 1)^2 + b(x - 1) + c$ (3) $\frac{1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{a}{x - 1} + \frac{bx + c}{x^2 + x + 1}$ (4) $\frac{7x + 4}{(x - 2)(x + 1)^2} = \frac{a}{x - 2} + \frac{b}{x + 1} + \frac{c}{(x + 1)^2}$

はい、承知しました。問題文の指示に従い、以下の形式で解答します。

1. 問題の内容

与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求めます。問題は4つあります。

(1) $3x + 1 = a(x - 1)(x + 1) + bx(x + 1) + cx(x - 1)$

(2) $2x^2 - 3x + 5 = a(x - 1)^2 + b(x - 1) + c$

(3) $\frac{1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{a}{x - 1} + \frac{bx + c}{x^2 + x + 1}$

(4) $\frac{7x + 4}{(x - 2)(x + 1)^2} = \frac{a}{x - 2} + \frac{b}{x + 1} + \frac{c}{(x + 1)^2}$

2. 解き方の手順

(1) の手順:

まず、右辺を展開します。

$a(x^2 - 1) + bx^2 + bx + cx^2 - cx = (a + b + c)x^2 + (b - c)x - a$

これが $3x + 1$ と恒等式になるので、各係数を比較します。

$x^2$の係数：$a + b + c = 0$

$x$の係数：$b - c = 3$

定数項：$-a = 1$

これから、$a = -1$ です。これを最初の式に代入すると、$b + c = 1$ となります。

$b - c = 3$ と連立して解くと、$2b = 4$ より $b = 2$。$c = 1 - b = 1 - 2 = -1$。

(2) の手順:

右辺を展開します。

$a(x^2 - 2x + 1) + bx - b + c = ax^2 - 2ax + a + bx - b + c = ax^2 + (b - 2a)x + (a - b + c)$

これが $2x^2 - 3x + 5$ と恒等式になるので、各係数を比較します。

$x^2$の係数：$a = 2$

$x$の係数：$b - 2a = -3$

定数項：$a - b + c = 5$

$a = 2$ を2番目の式に代入すると、$b - 4 = -3$ より $b = 1$。

$a = 2$ と $b = 1$ を3番目の式に代入すると、$2 - 1 + c = 5$ より $c = 4$。

(3) の手順:

両辺に$(x - 1)(x^2 + x + 1)$ を掛けて、分母を払います。

$1 = a(x^2 + x + 1) + (bx + c)(x - 1) = ax^2 + ax + a + bx^2 - bx + cx - c = (a + b)x^2 + (a - b + c)x + (a - c)$

各係数を比較します。

$x^2$の係数：$a + b = 0$

$x$の係数：$a - b + c = 0$

定数項：$a - c = 1$

$a - c = 1$ より $c = a - 1$

$a + b = 0$ より $b = -a$

$a - b + c = a - (-a) + a - 1 = 3a - 1 = 0$ より $3a = 1$、$a = \frac{1}{3}$

$b = -a = -\frac{1}{3}$

$c = a - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$

(4) の手順:

両辺に $(x - 2)(x + 1)^2$ を掛けて、分母を払います。

$7x + 4 = a(x + 1)^2 + b(x - 2)(x + 1) + c(x - 2) = a(x^2 + 2x + 1) + b(x^2 - x - 2) + c(x - 2) = (a + b)x^2 + (2a - b + c)x + (a - 2b - 2c)$

各係数を比較します。

$x^2$の係数：$a + b = 0$

$x$の係数：$2a - b + c = 7$

定数項：$a - 2b - 2c = 4$

$a + b = 0$ より $b = -a$

$2a - b + c = 2a + a + c = 3a + c = 7$ より $c = 7 - 3a$

$a - 2b - 2c = a + 2a - 2(7 - 3a) = 3a - 14 + 6a = 9a - 14 = 4$ より $9a = 18$、$a = 2$

$b = -a = -2$

$c = 7 - 3a = 7 - 6 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $a = -1$, $b = 2$, $c = -1$

(2) $a = 2$, $b = 1$, $c = 4$

(3) $a = \frac{1}{3}$, $b = -\frac{1}{3}$, $c = -\frac{2}{3}$

(4) $a = 2$, $b = -2$, $c = 1$