与えられた式 $x^4 + 5x^2 + 9$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 + 5x^2 + 9$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

この式は、一見すると因数分解できそうにありません。しかし、$x^4 + 5x^2 + 9$ を平方の差の形に変形することで因数分解できます。

まず、$x^4$ と $9$ を見て、$(x^2+3)^2$ を考えます。

$(x^2+3)^2 = x^4 + 6x^2 + 9$ となります。

元の式は $x^4 + 5x^2 + 9$ でしたので、$x^2$ が一つ足りません。

そこで、$x^2$ を引いて調整します。

$x^4 + 5x^2 + 9 = (x^4 + 6x^2 + 9) - x^2 = (x^2+3)^2 - x^2$

ここで、平方の差の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を用います。

$a = x^2+3$, $b = x$ とすると、

$(x^2+3)^2 - x^2 = (x^2+3+x)(x^2+3-x)$

通常は次数が高い順に書くので、$x$ の項を並び替えます。

$(x^2+x+3)(x^2-x+3)$

3. 最終的な答え

$(x^2+x+3)(x^2-x+3)$