問題67の３つの2次不等式について、それぞれの条件を満たすように定数 $a$, $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題67の３つの2次不等式について、それぞれの条件を満たすように定数 $a$, $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + ax + b > 0$ の解が $x < -1, 2 < x$ である。

不等式の解が $x < -1, 2 < x$ であることから、2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の解は $x = -1, 2$ である。

したがって、$x^2 + ax + b = (x+1)(x-2) = x^2 - x - 2$ となる。

よって、$a = -1, b = -2$ である。

(2) $x^2 + ax + b < 0$ の解が $-3 < x < 5$ である。

不等式の解が $-3 < x < 5$ であることから、2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の解は $x = -3, 5$ である。

したがって、$x^2 + ax + b = (x+3)(x-5) = x^2 -2x - 15$ となる。

よって、$a = -2, b = -15$ である。

(3) $ax^2 - 2x + b > 0$ の解が $-2 < x < 1$ である。

$a$ が正であると仮定すると、$ax^2 - 2x + b > 0$ の解は $x < \alpha, \beta < x$ となるはずなので、$a < 0$ である。

$ax^2 - 2x + b > 0$ の解が $-2 < x < 1$ であることから、$a < 0$ であり、$ax^2 - 2x + b = a(x+2)(x-1) = a(x^2 + x - 2) = ax^2 + ax - 2a$ となる。

したがって、$-2 = a, b = -2a$ である。

$a = -2$ より、$b = -2(-2) = 4$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a = -1, b = -2$

(2) $a = -2, b = -15$

(3) $a = -2, b = 4$