次の和 $S$ を求めよ。 $S = \frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めよ。

$S = \frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$

2. 解き方の手順

各項は部分分数分解できる。

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$

この分解を利用して、和 $S$ を書き換える。

$S = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$

この和は、隣り合う項が打ち消し合うように構成されている。このタイプの和をtelescoping sum (伸縮和) と呼ぶ。初めの項と最後の項だけが残る。

$S = 1 - \frac{1}{n+1}$

通分して整理する。

$S = \frac{n+1}{n+1} - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{n}{n+1}$