次の3つの式の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{1}{\sqrt{40}}$ (2) $\frac{1}{3+\sqrt{2}}$ (3) $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}+2}$

1. 問題の内容

次の3つの式の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{1}{\sqrt{40}}$

(2) $\frac{1}{3+\sqrt{2}}$

(3) $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}+2}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{\sqrt{40}}$ の場合

$\sqrt{40}$ を簡単にする: $\sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10}$

分母と分子に$\sqrt{10}$を掛ける:

$\frac{1}{2\sqrt{10}} = \frac{1 \times \sqrt{10}}{2\sqrt{10} \times \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{2 \times 10} = \frac{\sqrt{10}}{20}$

(2) $\frac{1}{3+\sqrt{2}}$ の場合

分母の共役な式 $3 - \sqrt{2}$ を分母と分子に掛ける:

$\frac{1}{3+\sqrt{2}} = \frac{1 \times (3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2}) \times (3-\sqrt{2})}$

$(3+\sqrt{2}) \times (3-\sqrt{2}) = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$

よって、 $\frac{3-\sqrt{2}}{7}$

(3) $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}+2}$ の場合

分母の共役な式 $\sqrt{5}-2$ を分母と分子に掛ける:

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}+2} = \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{5}) \times (\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2) \times (\sqrt{5}-2)}$

$(\sqrt{2}+\sqrt{5}) \times (\sqrt{5}-2) = \sqrt{2} \times \sqrt{5} - 2\sqrt{2} + \sqrt{5} \times \sqrt{5} - 2\sqrt{5} = \sqrt{10} - 2\sqrt{2} + 5 - 2\sqrt{5}$

$(\sqrt{5}+2) \times (\sqrt{5}-2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$

よって、 $\sqrt{10} - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{5} + 5$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{10}}{20}$

(2) $\frac{3-\sqrt{2}}{7}$

(3) $5 + \sqrt{10} - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{5}$