方程式 $3^{3x-4} = 243$ を解きます。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

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5. (1)**

1. 問題の内容

方程式 $3^{3x-4} = 243$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、243を3の累乗で表します。$243 = 3^5$ なので、方程式は $3^{3x-4} = 3^5$ となります。

指数部分を比較すると、$3x - 4 = 5$ となります。

これを解いて、$3x = 9$ より、$x = 3$ を得ます。

3. 最終的な答え

$x = 3$

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5. (2)**

1. 問題の内容

不等式 $(\frac{1}{2})^{5x+4} < (\frac{1}{8})^x$ を解きます。

2. 解き方の手順

$(\frac{1}{8})$ を $(\frac{1}{2})$ の累乗で表します。$\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$ なので、不等式は $(\frac{1}{2})^{5x+4} < (\frac{1}{2})^{3x}$ となります。

底が1より小さいので、指数部分の大小関係は逆転します。したがって、$5x + 4 > 3x$ となります。

これを解いて、$2x > -4$ より、$x > -2$ を得ます。

3. 最終的な答え

$x > -2$

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6. (1)**

1. 問題の内容

対数 $\log_{\frac{1}{3}} 81$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$81$ を $(\frac{1}{3})$ の累乗で表します。$81 = 3^4 = (\frac{1}{3})^{-4}$ なので、$\log_{\frac{1}{3}} 81 = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})^{-4} = -4$ となります。

3. 最終的な答え

-4

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6. (2)**

1. 問題の内容

対数 $\log_5 \sqrt[6]{5}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$\sqrt[6]{5}$ を $5$ の累乗で表します。$\sqrt[6]{5} = 5^{\frac{1}{6}}$ なので、$\log_5 \sqrt[6]{5} = \log_5 5^{\frac{1}{6}} = \frac{1}{6}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$

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7. (1)**

1. 問題の内容

式 $3 \log_5 12 - \log_5 300 - 2 \log_5 60$ を計算します。

2. 解き方の手順

対数の性質を利用して式を整理します。

$3 \log_5 12 = \log_5 12^3 = \log_5 1728$

$2 \log_5 60 = \log_5 60^2 = \log_5 3600$

したがって、与式は

$\log_5 1728 - \log_5 300 - \log_5 3600 = \log_5 \frac{1728}{300 \cdot 3600} = \log_5 \frac{1728}{1080000} = \log_5 \frac{12}{7500} = \log_5 \frac{1}{625} = \log_5 5^{-4} = -4$ となります。

3. 最終的な答え

-4

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7. (2)**

1. 問題の内容

式 $\log_3 5 \cdot \log_5 3$ を計算します。

2. 解き方の手順

底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を利用します。

$\log_3 5 \cdot \log_5 3 = \log_3 5 \cdot \frac{\log_3 3}{\log_3 5} = \log_3 5 \cdot \frac{1}{\log_3 5} = 1$ となります。

3. 最終的な答え

1

**8.**

1. 問題の内容

関数 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ の $\frac{1}{4} < x < 1$ における値域を求めます。

2. 解き方の手順

$y = \log_{\frac{1}{2}} x$ は単調減少関数です。

$x = \frac{1}{4}$ のとき、$y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^2 = 2$

$x = 1$ のとき、$y = \log_{\frac{1}{2}} 1 = 0$

$\frac{1}{4} < x < 1$ なので、$0 < y < 2$

3. 最終的な答え

$0 < y < 2$

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9. (1)**

1. 問題の内容

方程式 $\log_5 (4x+1) = 2$ を解きます。

2. 解き方の手順

対数の定義より、$4x+1 = 5^2 = 25$ となります。

$4x = 24$ より、$x = 6$ となります。

真数条件より、$4x+1 > 0$ なので、$x > -\frac{1}{4}$。よって、$x = 6$ は条件を満たします。

3. 最終的な答え

$x = 6$

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9. (2)**

1. 問題の内容

不等式 $\log_4 (x+3) \le 2$ を解きます。

2. 解き方の手順

対数の定義より、$x+3 \le 4^2 = 16$ となります。

$x \le 13$ となります。

真数条件より、$x+3 > 0$ なので、$x > -3$。

したがって、$-3 < x \le 13$ となります。

3. 最終的な答え

$-3 < x \le 13$