与えられた2次関数 $y = x^2 + (2a+2)x + 2a^2 + 6a - 4$ について、以下の問題を解く。 (1) 関数①のグラフとy軸との共有点Pのy座標を $p$ とするとき、$p$ が最小となる $a$ の値と、$p$ の最小値を求める。 (2) 関数①のグラフの頂点Qを求め、関数①のグラフがx軸と異なる2点A,Bで交わっているときの $a$ の範囲を求める。線分ABの長さを求め、ABが最大となる $a$ の値と、そのときのABの長さを求める。また、三角形ABQが正三角形となるとき、ABの中点をMとすると、MQ = $\frac{\sqrt{\boxed{}}}{\boxed{}}$ ABが成り立つことを利用して、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = x^2 + (2a+2)x + 2a^2 + 6a - 4$ について、以下の問題を解く。

(1) 関数①のグラフとy軸との共有点Pのy座標を $p$ とするとき、$p$ が最小となる $a$ の値と、$p$ の最小値を求める。

(2) 関数①のグラフの頂点Qを求め、関数①のグラフがx軸と異なる2点A,Bで交わっているときの $a$ の範囲を求める。線分ABの長さを求め、ABが最大となる $a$ の値と、そのときのABの長さを求める。また、三角形ABQが正三角形となるとき、ABの中点をMとすると、MQ = $\frac{\sqrt{\boxed{}}}{\boxed{}}$ ABが成り立つことを利用して、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数①のグラフとy軸との共有点Pのy座標 $p$ は、$x=0$ を代入することで求まる。

$p = 2a^2 + 6a - 4$

これを平方完成する。

$p = 2(a^2 + 3a) - 4 = 2\left( \left( a + \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{9}{4} \right) - 4 = 2\left( a + \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{9}{2} - 4 = 2\left( a + \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{17}{2}$

よって、$a = -\frac{3}{2}$ のとき最小値 $-\frac{17}{2}$ をとる。

(2) 関数①を平方完成する。

$y = x^2 + (2a+2)x + 2a^2 + 6a - 4 = (x + (a+1))^2 - (a+1)^2 + 2a^2 + 6a - 4 = (x + a + 1)^2 - (a^2 + 2a + 1) + 2a^2 + 6a - 4 = (x + a + 1)^2 + a^2 + 4a - 5$

頂点Qの座標は $(-a-1, a^2 + 4a - 5)$

関数①のグラフがx軸と異なる2点A,Bで交わる条件は、$a^2 + 4a - 5 < 0$

$(a+5)(a-1) < 0$

$-5 < a < 1$

このとき、$AB = 2\sqrt{-(a^2 + 4a - 5)} = 2\sqrt{-a^2 - 4a + 5} = 2\sqrt{-(a^2 + 4a + 4) + 9} = 2\sqrt{-(a+2)^2 + 9}$

ABは $a=-2$ のとき最大値 $2\sqrt{9} = 6$ をとる。

三角形ABQが正三角形のとき、$MQ = \frac{\sqrt{3}}{2} AB$

$|a^2+4a-5| = \frac{\sqrt{3}}{2} 2\sqrt{-a^2 - 4a + 5}$

$(a^2+4a-5)^2 = 3(-a^2 - 4a + 5)$

$(a^2+4a-5)^2 + 3(a^2 + 4a - 5) = 0$

$(a^2+4a-5)(a^2+4a-5+3) = 0$

$(a^2+4a-5)(a^2+4a-2) = 0$

$a^2+4a-5 = (a+5)(a-1) = 0$ より $a = -5, 1$。これらは $-5 < a < 1$ を満たさない。

$a^2+4a-2 = 0$ より $a = \frac{-4 \pm \sqrt{16+8}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2} = -2 \pm \sqrt{6}$

$-5 < a < 1$ を満たすのは $a = -2 \pm \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

アイ：-3

ウ：2

エオカ：-17

キ：2

ク：-1

ケ：1

コ：4

サ：5

シス：-5

セ：1

ソ：-1

タ：4

チ：5

ツテ：-2

ト：6

ナ：3

ニ：2

ヌネ：-2

ノ：6