与えられた3つの行列の行列式を行基本変形を用いて求めます。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & -3 & -4 \\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ (3) $\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3つの行列の行列式を行基本変形を用いて求めます。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & -3 & -4 \\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

(3) $\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & -3 & -4 \\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix}$ の行列式を計算します。

第2行に第1行の2倍を加えます。

第3行から第1行の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix}$

第3行に第2行の2倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

行列式は $1 \times 1 \times 2 = 2$ です。

(2) 行列 $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ の行列式を計算します。

第2行に第1行を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

第3行に第2行を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

第4行に第3行を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

行列式は $1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1$ です。

(3) 行列 $\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ の行列式を計算します。

$\frac{1}{2}$ を行列から出すと、$(\frac{1}{2})^4$ 倍されます。

したがって、行列式は $\frac{1}{16} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$ です。

第2行から第1行を引きます。

第3行から第1行を引きます。

第4行に第1行を加えます。

$\frac{1}{16} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & 2 \\ 0 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \end{vmatrix}$

第2列と第3列を入れ替えます (符号が反転します)。

$-\frac{1}{16} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \end{vmatrix}$

第4行に第2行を加えます。

$-\frac{1}{16} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \end{vmatrix}$

第4行に第3行を加えます。

$-\frac{1}{16} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{vmatrix}$

行列式は $-\frac{1}{16} (1 \times -2 \times -2 \times 4) = -\frac{16}{16} = -1$ です。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 1

(3) -1